Question

9．已知sinθ和cosθ的等差中项为sinα，等比中项为sinβ，则cos2$α-\frac{1}{2}$cos2β=0．

Answer 1

分析 利用等差中项和等比中项的性质求得sinα，sinβ与sinθ与cosθ的关系，进而利用同角三角函数的基本关系构造出等式，利用二倍角公式整理，即可得解．

解答 解：依题意可知2sinα=sinθ+cosθ，
sin²β=sinθcosθ，
∵cos2$α-\frac{1}{2}$cos2β=1-2sin²α-$\frac{1}{2}$（1-2sin²β）=1-2（$\frac{（sinθ+cosθ）^{2}}{4}$）-$\frac{1}{2}$（1-sin2θ）=1-$\frac{1}{2}$$-\frac{1}{2}$sin2θ-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}sin2θ$=0．
故答案为：0．

点评 本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值，考查了同角三角函数基本关系的运用，等差中项和等比中项的性质，属于基础题．