Question

如图，正四棱锥P-ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成角的正切值为

6

2

．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小；
（2）若E是PB中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值．

Answer 1

分析：（1）连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，则∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，设AB=1，则可得则PO=AO•tan∠PAO
设F为AD中点，连FO、PF，易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角，在Rt△POF中可求∠PFO
（2）容易证明EO

∥

.

1

2

PD．可得∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角，在Rt△AOE中求解

解答：解：（1）连接AC、BD交于点O，连接PO，则PO⊥面ABCD，（1分）
∴∠PAO就是PA与底面ABCD所成的角，∴tan∠PAO=

6

2

．（2分）
设AB=1，则PO=AO•tan∠PAO=

2

2

×

6

2

=

3

2

．（3分）
设F为AD中点，连FO、PF，
易知OF⊥AD，PF⊥AD，所以∠PFO就是侧面PAD与底面ABCD所成二面角的平面角．（4分）
在Rt△POF中，tan∠PFO=

PO

FO

=

3

2

/

1

2

=

3

，
∴∠PFO=60°，即侧面PAD与底面ABCD所成二面角的大小为60°；（5分）
（2）连接EO，由于O为BD中点，E为PB中点，所以，EO

∥

.

1

2

PD．
∴∠AEO就是异面直线PD与AE所成的角．（6分）
在Rt△POD中，PD=

OD2+PO2

=

5

2

．∴EO=

5

4

．（7分）
由AO⊥BD，AO⊥PO可知AO⊥面PBD．所以，AO⊥EO（8分）
在Rt△AOE中，tan∠AEO=

AO

EO

=

2

2

/

5

4

=

2 10

5

，
即异面直线PD与AE所成角的正切值为

2 10

5

．（9分）

点评：本题主要考查了直线与平面所成角及二面角的平面角的求解，解决问题（1）的关键是要找到与已知平面垂直的直线，从而把线面角转化为线线角，还要注意线面角的范围：[0，

π

2

]；解决问题（2）的关键是要寻求与已知异面直线平行的直线，从而把异面直线所成的角转化为相交直线所成的角，其范围：（0，

π

，2

)