题目内容
已知,点依次满足。
(1)求点的轨迹;
(2)过点作直线交以为焦点的椭圆于两点,线段的中点到轴的距离为,且直线与点的轨迹相切,求该椭圆的方程;
(3)在(2)的条件下,设点的坐标为,是否存在椭圆上的点及以为圆心的一个圆,使得该圆与直线都相切,如存在,求出点坐标及圆的方程,如不存在,请说明理由.
(1) 以原点为圆心,1为半径的圆, (2) (3)存在点,其坐标为或.
解析试题分析:(1)求动点轨迹方程,分四步.第一步,设动点坐标第二步建立等量关系:第三步化简等量关系:第四步,去杂.求轨迹,不仅求出轨迹方程,而且说明轨迹形状.(2)求椭圆标准方程,一般利用待定系数法. 设直线的方程为椭圆的方程由与圆相切得:由直线的方程与椭圆方程联立方程组得:所以,∴(3)存在性问题,一般从假设存在出发,列等量关系,将存在性问题转化为方程是否有解问题. 假设,: : ,
又,解得:或 (舍).
解析:(1) 设
所以,点的轨迹是以原点为圆心,1为半径的圆. 4分
(2)设直线的方程为 ①
椭圆的方程②
由与圆相切得: 6分
将①代入②得:,
又,可得,
有,∴,.
∴ 9分
(3) 假设存在椭圆上的一点,使得直线与以Q为圆心的圆相切,
则Q到直线的距离相等,
:
:
12分
化简整理得:
∵ 点在椭圆上,∴
解得:或 (舍)
时,,, &n