Question

如图，在棱长为a的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AB和BC的中点，EF交BD于H．
（1）求二面角B₁-EF-B的正切值；
（2）试在棱B₁B上找一点M，使D₁M⊥平面EFB₁，并证明你的结论；
（3）求点D₁到平面EFB₁的距离．

Answer 1

分析：（1）连AC、B₁H，根据二面角平面角的定义可知∠B₁HB为二面角B₁-EF-B的平面角，在Rt△B₁HB中求出此角的正切值即可；
（2）在棱B₁B上取中点M，连D₁M、C₁M，欲证D₁M⊥平面EFB₁，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证D₁M与平面EFB₁内两相交直线垂直，而EF⊥D₁M，B₁F⊥D₁M，满足定理条件；
（3）设D₁M与平面EFB₁交于点N，则D₁N为点D₁到平面EFB₁的距离，在Rt△MB₁D₁中利用射影定理求出D₁N即可．

解答：解：（1）连AC、B₁H，则EF∥AC，
∵AC⊥BD，所以BD⊥EF．
∵B₁B⊥平面ABCD，所以B₁H⊥EF，
∴∠B₁HB为二面角B₁-EF-B的平面角．（2分）
在Rt△B1BH中，B1B=a，BH=

2

4

a.
∴tan∠B1HB=

B1B

BH

=2

2

故二面角B₁-EF-B的正切值为2

2

（4分）

（2）在棱B₁B上取中点M，连D₁M、C₁M．
∵EF⊥平面B₁BDD₁，
所以EF⊥D₁M．（6分）
在正方形BB₁C₁C中，因为M、F分别为BB₁、BC的中点，
∴B₁F⊥C₁M（8分）
又因为D₁C₁⊥平面BCC₁B₁，所以B₁F⊥D₁C₁，
所以B₁F⊥D₁M，
∴D₁M⊥平面EFB₁（10分）

（3）设D₁M与平面EFB₁交于点N，则D₁N为点D₁到平面EFB₁的距离．（11分）
在Rt△MB₁D₁中，D₁B₁²=D₁N•D₁M（12分）
∵D1B1=

2

a，D1M=

3

2

a，
所以D1N=

D1 B 2 1

D1M

=

4

3

a，
故点D₁到平面EFB₁的距离为

4

3

a.（14分）

点评：本题主要考查了二面角及其度量，以及点、线、面间的距离计算和直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．