Question

【题目】已知函数f（x）=（kx+a）ex的极值点为﹣a﹣1，其中k，a∈R，且a≠0．
（1）若曲线y=f（x）在点A（0，a）处的切线l与直线y=|2a﹣2|x平行，求l的方程；
（2）若a∈[1，2]，函数f（x）在（b﹣ea ， 2）上为增函数，求证：e2﹣3≤b＜ea+2．

Answer 1

【答案】
（1）解：当k=0时，f（x）无极值，故k≠0．

由f'（x）=（kx+a+k）ex=0，

得 ，

∴a+k=ak+k．

∵a≠0，∴k=1．

∵f'（0）=a+1=|2a﹣2|，∴a=3或 ．

当a=3时，f（x）=（x+3）ex，f（0）=3，

∴l的方程为y=4x+3．

当 时， ， ，

∴l的方程为

（2）证明：由题可知f'（x）=（x+a+1）ex≥0对x∈（b﹣ea，2）恒成立，

∵ex＞0，∴x+a+1≥0，即x≥﹣a﹣1对x∈（b﹣ea，2）恒成立，

∴﹣a﹣1≤b﹣ea，即b≥ea﹣a﹣1对a∈[1，2]恒成立．

设g（a）=ea﹣a﹣1，a∈[1，2]，则g'（a）=ea﹣1＞0，

∴g（a）在[1，2]上递增，∴ ，∴b≥e2﹣3．

又（b﹣ea＜2，∴e2﹣3≤b＜ea+2

【解析】（1）求出函数的导数，求出k的值，从而求出a的值，带入a的值，求出切线方程即可；（2）问题转化为x≥﹣a﹣1对x∈（b﹣ea ， 2）恒成立，根据﹣a﹣1≤b﹣ea ， 即b≥ea﹣a﹣1对a∈[1，2]恒成立，设g（a）=ea﹣a﹣1，a∈[1，2]，根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的极值与导数的相关知识，掌握求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．