题目内容
【题目】已知F1 ， F2分别是椭圆C： 
=1（a＞b＞0）的两个焦点，P（1， 
）是椭圆上一点，且 
|PF1|，|F1F2|， |PF2|成等差数列．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）已知动直线l过点F2 ， 且与椭圆C交于A、B两点，试问x轴上是否存在定点Q，使得 
=﹣ 
恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】
（1）解：∵ 
|PF1|，|F1F2|， |PF2|成等差数列，
∴ |PF1|+ |PF2|=2|F1F2|，即2 a=4c，∴a= 
．
∴ 
，解得 
．
∴椭圆方程为 
．
（2）解：假设在x轴上存在点Q（m，0），使得 
恒成立．
① 当直线l的斜率为0时，A（﹣ ，0），B（ ，0）．
∴ 
=（﹣ ﹣m，0）， 
=（ ﹣m，0）．
∴ 
=m2﹣2=﹣ 
，解得 
或m=﹣ 
．
②若直线l斜率不为0，设直线AB的方程为x=ty+1．
联立方程组 
，消元得：（t2+2）y2+2ty﹣1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=﹣ 
，y1y2=﹣ 
．
∴x1+x2=t（y1+y2）+2= 
，
x1x2=（ty1+1）（ty2+1）=t2y1y2+t（y1+y2）+1= 
．
∵ =（x1﹣m，y1）， =（x2﹣m，y2）．
∴ =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=x1x2﹣m（x1+x2）+m2+y1y2
= ﹣ 
+m2﹣ = 
=﹣ ．
∴ 
，解得m= ．
综上，Q点坐标为（ ，0）
【解析】（1）根据椭圆的性质及等差数列性质得出a= c，把P点坐标代入椭圆方程列方程组解出a，b得出椭圆方程；（2）设Q（m，0），当直线斜率为0时，求出A，B坐标，列方程解出m，当直线斜率不为0时，设AB方程为x=ty+1，联立方程组得出A，B坐标的关系，根据 =﹣ 列方程解出m．
