Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设a＞0，证明：当0＜x＜a时，f（x+a）＜f（a﹣x）；
（3）设x1 ， x2是f（x）的两个零点，证明：f′（ ）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域是（0，+∞），

f′（x）=x+1﹣a﹣ = ，

若a≤0，则f′（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）递增，

若a＞0，则由f′（x）=0，解得：x=a，

当0＜x＜a时，f′（x）＜0，

当x＞a时，f′（x）＞0，

此时f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增

（2）解：令g（x）=f（a+x）﹣f（a﹣x），

则g（x）=2x﹣aln（a+x）+aln（a﹣x），

g′（x）=2﹣ ﹣ =﹣ ，

当0＜x＜a时，g′（x）＜0，g（x）在（0，a）递减，

而g（0）=0，故g（x）＜g（0）=0，

故0＜x＜a时，f（a+x）＜f（a﹣x）

（3）解：证明：由（1）得，a≤0时，函数y=f（x）至多有1个零点，

故a＞0，从而f（x）的最小值是f（a），且f（a）＜0，

不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a＜x2，

∴0＜a﹣x1＜a，

由（2）得：f（2a﹣x1）=f（a+a﹣x1）＜f（x1）=0，

从而x2＞2a﹣x1，于是 ＞a，

由（1）得：f′（ ）＞0

【解析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调性即可；（2）令g（x）=f（a+x）﹣f（a﹣x），求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而证出结论即可；（3）得到a＞0，从而f（x）的最小值是f（a），且f（a）＜0，不妨设0＜x1＜x2 ， 则0＜x1＜a＜x2 ， 得到0＜a﹣x1＜a，根据（1），（2）结论判断即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．