Question

【题目】已知函数f（x）=2ln（x+1）+ ﹣（m+1）x有且只有一个极值． （Ⅰ）求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若f（x1）=f（x2）（x1≠x2），求证：x1+x2＞2．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）定义域为（﹣1，+∞），
即求f'（x）=0在区间（﹣1，+∞）上只有一个解，
①当m≠0时，由f'（x）=0得x=1或 ，
则 ，m＜0
②当m=0时， ．得x=1符合题意，
综上：当m≤0时，f（x）有且只有一个极值
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：m≤0，x=1时f（x）有且只有一个极大值．
又f（x1）=f（x2）（x1≠x2），不妨设﹣1＜x1＜1＜x2
令g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1）
则g（x）=2ln（3﹣x）﹣2ln（x+1）+2x﹣2（m+1）
所以g（x）在（﹣1，1）上为减函数，故g（x）＞g（1）=0
即当﹣1＜x＜1时，f（2﹣x）＞f（x）．
所以f（2﹣x1）＞f（x1）=f（x2），即f（2﹣x1）＞f（x2）
由（Ⅰ）知，f（x）在（1，+∞）上为减函数，且2﹣x1＞1，x2＞1，
所以2﹣x1＜x2 ， 故x1+x2＞2
【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论m的范围，根据函数有且只有一个极值，求出m的范围即可；（Ⅱ）不妨设﹣1＜x1＜1＜x2 ， 令g（x）=f（2﹣x）﹣f（x）（﹣1＜x＜1），根据函数的单调性证明即可．
【考点精析】关于本题考查的利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数，需要了解一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值才能得出正确答案．