题目内容
9.设函数f(x)=2x+$\frac{a}{{2}^{x}}$-1(a为实数).(1)当a=0时,若函数y=g(x)为奇函数,且在x>0时,g(x)=f(x),求函数y=g(x)的解析式;
(2)当a<0时,求关于x的方程f(x)=0在实数集R上的解.
分析 (1)当a=0时,函数f(x)=2x-1,结合在x>0时,g(x)=f(x),函数y=g(x)为奇函数,利用奇函数的性质,可得函数y=g(x)的解析式;
(2)令t=2x,则t>0,则方程f(x)=0可化为:t+$\frac{a}{t}$-1=0,结合a<0,解方程,可得答案.
解答 解:(1)当a=0时,函数f(x)=2x-1,
∵函数y=g(x)为奇函数,且x>0时,g(x)=f(x)=2x-1,
∴当x<0时,-x>0,此时g(-x)=2-x-1=-g(x),
即g(x)=1-2-x,
又∵当x=0时,g(x)=0,
∴y=g(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2}^{x}-1,x≥0\\ 1-{2}^{-x},x<0\end{array}\right.$;
(2)令t=2x,则t>0,
则方程f(x)=0可化为:t+$\frac{a}{t}$-1=0,
解得:t=$\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$,或t=$\frac{1-\sqrt{1+4a}}{2}$(舍去),
故x=${log}_{2}\frac{1+\sqrt{1+4a}}{2}$
点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的性质,指数方程的求解,难度中档.
练习册系列答案
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