Question

18．已知方程x²+bx+c=0的两根为tanα，tanβ，求证sin²（α+β）+bsin（α+β）cos（α+β）+ccos²（α+β）=c．

Answer 1

分析 因为tanα，tanβ是方程x²+bx+c=0的两根，所以根据根与系数的关系求出tanα+tanβ和tanαtanβ的值，然后利用两角和正切函数公式求出tan（α+β）的值，把所求的式子提取cos²（α+β）=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$后得到关于tan（α+β）的关系式，把tan（α+β）的值代入即可证明等式左边等于右边，从而得证．

解答 解：（1）由韦达达定理知$\left\{\begin{array}{l}{tanα+tanβ=-b}\\{tanα•tanβ=c}\end{array}\right.$，又tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-$\frac{b}{1-c}$，
∴等式左边=sin²（α+β）+bsin（α+β）cos（α+β）+ccos²（α+β）
cos²（α+β）[tan²（α+β）+btan（α+β）+c]
=$\frac{1}{1+ta{n}^{2}（α+β）}$[tan²（α+β）+btan（α+β）+c]
=$\frac{1}{1+\frac{{b}^{2}}{（c-1）^{2}}}$[$\frac{{b}^{2}}{（c-1）^{2}}$+$\frac{{b}^{2}}{c-1}$+c]
=$\frac{c（1+{b}^{2}+{c}^{2}-2c）}{1+{b}^{2}+{c}^{2}-2c}$
=c=右边，故得证．

点评 本题主要考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及同角三角函数间的基本关系化简求值，灵活运用韦达定理解决数学问题，属于中档题