题目内容

【题目】若函数f(x)=x|x﹣a|(a>0)在区间[1,2]上的最小值为2,则a=

【答案】3
【解析】解:由a>0,结合y=f(x)的图象可得f(x)在[1,2]的最小值
可以是f(1),或f(2),f(a).
由f(a)=0,不成立;
由f(1)=|1﹣a|=2,解得a=﹣1(舍去)或a=3,
当a=3时,f(x)=x|x﹣3|在[1,2],即有:f(x)=x(3﹣x)在[1,2]递减,
可得f(1)或f(2)取得最小值,且为2;
由f(2)=2|2﹣a|=2,解得a=1或a=3.
当a=3时,f(x)=x|x﹣3|在[1,2]即为:f(x)=x(3﹣x)在[1,2]递减,
可得f(1)或f(2)取得最小值,且为2;
当a=1时,f(x)=x|x﹣1|在[1,2]即为:f(x)=x(x﹣1),
可得f(x)在[1,2]递增,即有f(1)取得最小值,且为0,不成立.
综上可得a=3.
所以答案是:3.
【考点精析】本题主要考查了函数的最值及其几何意义的相关知识点,需要掌握利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值;利用图象求函数的最大(小)值;利用函数单调性的判断函数的最大(小)值才能正确解答此题.

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