Question

【题目】已知椭圆:离心率是分别是椭圆的左右焦点，过作斜率为的直线，交椭圆于，两点，且三角形周长

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线分别交轴于不同的两点，．如果为锐角，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根据题意及椭圆定义，并借助，即可求得椭圆的标准方程；

（2）设出直线方程，点和点坐标，并与椭圆方程联立，借助根与系数的关系表示出和，列出直线和的方程求出点和点坐标，利用向量数量积的坐标表示求出，将和的式子代入并化简，再根据为锐角，即可得解.

（1）由题意，椭圆的离心率是，三角形周长，

可得，，

解得，，，所以椭圆的方程为.

（2）由题意知直线的斜率不为0，

设直线的方程为，直线与椭圆的交点为，，

由得，

，①

直线的方程为，令，则，

同理可得，

所以

将①代入并化简，得，

因为为锐角，所以，即，

解得或.

所以，直线的斜率的取值范围是

.