题目内容
【题目】已知定圆:
,动圆
过点
,且和圆
相切.
(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹
的方程;
(Ⅱ)若直线:
与轨迹
交于
,
两点,线段
的垂直平分线经过点
,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)圆的半径
,设动圆
的半径为
由
,从而圆
内切于圆
,根据
,利用椭圆的定义可得
,
,从而求出椭圆的方程.
(Ⅱ)将直线与椭圆联立消去得到
,
,即
,设
,
,利用韦达定理求出弦
中点
的坐标,线段
的垂直平分线方程是
,将点
代入整理可得
,代入
即可求解.
(Ⅰ)圆的圆心为
,半径
.
设动圆的半径为
,依题意有
.
由,可知点
在圆
内,从而圆
内切于圆
,故
,
即.
所以动点的轨迹
是以
、
为焦点,长轴长为
的椭圆.
因为,
,所以
.
于是的方程是
.
(Ⅱ)设,
,联立
消去
得到,
,即
.
则,
,
弦中点
的坐标是
.
由,得
.
另一个方面,线段的垂直平分线方程是
.
点在此直线上,
得到,整理得
.
代入中,
,
.
又,
,所以
,
.
故实数的取值范围
.

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质量与尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.357 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
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(2)根据测得数据作了初步处理,得相关统计量的值如下表:
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
根据所给统计量,求y关于x的回归方程.
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,
,
.