题目内容
【题目】设椭圆:
的左右焦点分别为
,
,上顶点为
.
(Ⅰ)若.
(i)求椭圆的离心率;
(ii)设直线与椭圆
的另一个交点为
,若
的面积为
,求椭圆
的标准方程;
(Ⅱ)由椭圆上不同三点构成的三角形称为椭圆的内接三角形,当
时,若以
为直角顶点的椭圆
的内接等腰直角三角形恰有3个,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(i);(ii)
;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)(i)由勾股定理化简可得,进而可得椭圆的离心率;(ii)易知
,故椭圆
:
,求出直线
方程为:
,联立直线与椭圆的方程求出
点坐标,计算出
,则
,得到
,进而得出椭圆方程;
(Ⅱ)设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为
,
,设
,
,显然
,
不与坐标轴平行,且
,设直线
的方程为
,联立直线与椭圆方程,利用韦达定理以及弦长公式求出
,同理得出
,化简可得出关于
的方程
有两个不同的正实根
,
,且都不为1,通过数形结合思想,转化求解即可.
(Ⅰ)(i)可知,,
,
∵,∴
,
∴.
∴.
(ii)由(i)知,
,
∴椭圆:
,
可知直线斜率为1,
,
,
则直线方程为:
,
由,得
,
得,
,∴
,
,
∴,
∴,
∴,
∵,∴
,
∴椭圆的方程为:
.
(Ⅱ)时,椭圆
:
,
,
设椭圆内接等腰直角三角形的两直角边分别为
,
,
设,
,显然
,
不与坐标轴平行,且
,
所以不妨设直线的方程为
,则直线
的方程为
,
由,消去
得到
,
所以,
,
求得,
同理可求.
因为为以
为直角顶点的等腰直角三角形,所以
,
所以,
整理得,
所以,
所以或
,
所以或
,
设,因为以
为直角顶点的椭圆内接等腰直角三角形恰有三个,
所以关于的方程
有两个不同的正实根
,
,且都不为1.
∵,
所以,
解得实数的取值范围是
.

练习册系列答案
相关题目