题目内容

【题目】如图,已知位于轴左侧的圆轴相切于点且被轴分成的两段圆弧长之比为,直线与圆相交于两点,且以为直径的圆恰好经过坐标原点.

1)求圆的方程;

2)求直线的斜率的取值范围.

【答案】(1)(2)

【解析】

1)依题意可设圆心,根据圆的性质可以得出,进而可以求出圆的标准方程;

2)解法1.

依题意知,只需求出点(或)在劣弧上运动时的直线(或)斜率,设其直线方程为,根据直线与圆的位置关系,结合点到直线的距离公式,可以求出的取值范围,根据点在劣弧上,点在劣弧上,求出直线的斜率,进而求出直线的斜率的取值范围,在讨论线的斜率为零时,是否满足,最后确定直线的斜率的取值范围;

解法2.

时,直线的方程为,根据直线与圆的位置关系结合点到直线距离公式,求出斜率的取值范围,再以求出斜率的取值范围,接着讨论时,是否满足条件,最后确定斜率的取值范围.

1)依题意可设圆心.设圆轴交于点,因为圆轴分成的两段圆弧之比为,所以.于是,圆心.

所以圆的方程为.

2)解法1.

依题意知,只需求出点(或)在劣弧上运动时的直线

(或)斜率,设其直线方程为

此时有,解得.

若点在劣弧上,则直线的斜率,于是;

若点在劣弧上,则直线的斜率,于是.

又当时,点,也满足条件综上所述,所求的直线的斜率的取值范围为

解法2.

时,直线的方程为,由题意得,解得.

得,,解得.

时,也满足题意.

综上所述,的取值范围是

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