题目内容
【题目】设点,
的坐标分别为
,
,直线
和
相交于点
,且
和
的斜率之差是1.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)过轨迹上的点
,
,作圆
:
的两条切线,分别交
轴于点
,
.当
的面积最小时,求
的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)设出点坐标,根据
和
的斜率之差是
列方程,化简后求得点
的轨迹
的方程.注意排除斜率不存在的情况.
(2)设出切线的斜率,由点斜式写出切线方程,利用圆心到切线的距离为
列方程,化简后写出关于切线
、
的斜率
,
的根与系数关系,求得
两点的坐标,进而求得
的面积的表达式,化简后利用基本不等式求得
的面积的最小值以及此时对应
的值.
(1)设,由题意得
.
化简得点的轨迹
的方程为:
.
(2)由点所引的切线方程必存在斜率,设为
.
则切线方程为,即
.
其与轴的交点为
,
而圆心到切线的距离
,
整理得:①,
切线、
的斜率分别为
,
,则
,
是方程①的两根,
故,
而切线与轴的交点为
,故
,
,
又,
,
∴
,
将代入得
,
而点在
上,故
,
∴
,
当且仅当,即
时等号成立.
又,∴
,
故当点坐标为
,
时,
.
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