题目内容
【题目】设函数.
(1)当时,求证函数
在
上是增函数.
(2)若函数在
上有两个不同的零点,求
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)分别求得一阶导和二阶导,由二阶导的正负可确定一阶导的单调性,从而得到,确定
恒大于等于零,由此可得结论;
(2)将问题转化为与
有两个不同交点的问题;利用导数可确定
的单调性,得到
的图象,利用数形结合的方式求得结果.
(1)当时,
,则
,
当
时,
;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增
且不恒等于
在
上是增函数
(2)函数在
在
有两个不同的解,即
在
有两个不同的解
令,则问题等价于
与
有两个不同交点
当
时,
;当
时,
在
上单调递减,在
上单调递增
由此可得图象如下图所示:
由图象可知,当时,
与
有两个不同交点
时,
在
上有两个不同的零点
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