Question

【题目】已知数列满足 ,它的前项和为，且，．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）已知等比数列满足， ，设数列的前项和为，求．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;当时，．

【解析】试题分析：（1）由2an+1=an+an+2判断出数列{an}是等差数列，将a3=5，S6=36用基本量表示得到关于首项、公差的方程组，求出首项、公差，利用等差数列的通项公式求出an；（2）将b1+b2=1+a，b4+b5=a3+a4两个式子作商求出公比，利用等比数列的通项公式求出通项，由于anbn=（2n﹣1）an﹣1．所以利用错位相减的方法求出数列{anbn}的前n项和为Tn．

详解：（1）由2an+1=an+an+2得an+2﹣an+1=an+1﹣an，

则数列{an}是等差数列．

∴

因此，an=2n﹣1．

（2）设等比数列{bn}的公比为q，

∵=，

∴q=a．

由b1+b2=1+a，得b1（1+a）=1+a．

∵a≠﹣1，

∴b1=1．

则bn=b1qn﹣1=an﹣1，anbn=（2n﹣1）an﹣1．

Tn=1+3a+5a2+7a3+…+（2n﹣1）an﹣1…①

当a≠1时，aTn=a+3a2+5a3+7a4+…+（2n﹣1）an…②

由①﹣②得（1﹣a）Tn=1+2a+2a2+2a3+…+2an﹣1﹣（2n﹣1）an

=，

．

当a=1时，Tn=n2．