Question

【题目】如图，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．

（1）求证：A1B∥平面ADC1；
（2）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接A1C，交C1A于E，则E为A1C的中点，又点D是BC的中点，

所以DE∥A1B，

又DE平面ADC1，A1B平面ADC1，故A1B∥平面ADC1．

（2）解：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz，

则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C1（0，2，4），

=（0，2，0）是平面ABA1的一个法向量，

设平面ADC1的法向量 =（x，y，z）．

∵ =（1，1，0）， =（0，2，4），

∴ ．

取z=1，得y=﹣2，x=2

∴平面ADC1的法向量 =（2，﹣2，1），

平面ADC1与ABA1所成的二面角为θ，

∴|cosθ|=| |= ．

从而sinθ= ，即平面ADC1与ABA1所成二面角的正弦值为

【解析】（1）连接A1C，交C1A于E，证明：DE∥A1B，即可证明A1B∥平面ADC1；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ABA1的一个法向量、平面ADC1的法向量，利用向量的夹角公式，即可求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解直线与平面平行的判定的相关知识，掌握平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．