Question

14．函数f（x）=sin2x+$\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$的最大值是$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 利用两角和的余弦展开，令t=cosx-sinx换元，转化为二次函数求最值解答．

解答 解：f（x）=sin2x+$\sqrt{2}cos（x+\frac{π}{4}）$=sin2x+$\sqrt{2}（cosxcos\frac{π}{4}-sinxsin\frac{π}{4}）$
=sin2x+$\sqrt{2}（\frac{\sqrt{2}}{2}cosx-\frac{\sqrt{2}}{2}sin2x）$=2sinxcosx+cosx-sinx．
令t=cosx-sinx，则t∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]，
∴t²=1-2sinxcosx，2sinxcosx=1-t²．
原函数化为y=-t²+t+1，t∈[$-\sqrt{2}，\sqrt{2}$]，
对称轴方程为t=$\frac{1}{2}$，∴当t=$\frac{1}{2}$时函数有最大值为$\frac{5}{4}$．
故答案为：$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查了两角和与差的余弦函数，考查了利用换元法求三角函数的最值，考查了二次函数最值的求法，是中档题．