题目内容
4.已知点P是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1(a>0,b>0)右支上的动点,F1、F2分别是双曲线的左、右焦点,∠F1PF2的角平分线l与x轴交于点Q(x0,0),设双曲线的半焦距为c,若x0的范围是0<x0≤$\frac{2}{3}$c,则双曲线的离心率是( )A. | $\frac{3}{2}$ | B. | 2 | C. | $\frac{5}{2}$ | D. | 3 |
分析 设PF1=m,PF2=n,(m>n),由双曲线的定义可得,m-n=2a,再由角平分线的性质可得,$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{Q{F}_{1}}{Q{F}_{2}}$,运用比例的性质,结合条件和双曲线的范围,即可得到离心率.
解答 解:设PF1=m,PF2=n,(m>n),
由双曲线的定义可得,m-n=2a,
再由角平分线的性质可得,
$\frac{P{F}_{1}}{P{F}_{2}}$=$\frac{Q{F}_{1}}{Q{F}_{2}}$,
即为$\frac{m}{n}$=$\frac{{x}_{0}+c}{c-{x}_{0}}$,
则$\frac{m+n}{m-n}$=$\frac{c}{{x}_{0}}$,
由m-n=2a,m+n≥2c,0<x0≤$\frac{2}{3}$c,
即有当m+n=2c,x0=$\frac{2}{3}$c,
等式成立,
则有$\frac{2c}{2a}$=$\frac{c}{\frac{2}{3}c}$,
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$.
故选A.
点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质,主要考查定义法和双曲线的范围,运用角平分线的性质定理是解题的关键.
练习册系列答案
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A. | a<b<c | B. | c<a<b | C. | b<c<a | D. | b<a<c |
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A. | 3$\sqrt{2}$ | B. | 3$\sqrt{3}$ | C. | 4 | D. | 5 |
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A. | $\sqrt{3}$ | B. | 2 | C. | $\sqrt{5}$ | D. | $\sqrt{3}$+1 |