Question

【题目】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合， 交圆于两点，过作的平行线交于点.

（1）证明为定值，并写出点的轨迹方程；

（2）设，过点作直线，交点的轨迹于两点 (异于),直线的斜率分别为，证明： 为定值.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析.

【解析】试题分析：（1）根据且可得，从而，由此得到，所以的轨迹是椭圆（除去与轴的两个交点）且其方程为.（2）设， ，那么，联立直线方程和椭圆方程，消去利用韦达定理化简可得，注意检验的斜率不存在时也成立.

解析：（1）如图，因为， ，故，所以，故，又圆的标准方程为，从而，所以,有题设可知， 由椭圆的定义可得点的轨迹方程为.

（2）设，

当的斜率存在时，设为与椭圆联立可得， 且 .

因为两点异于，所以，所以 .

当的斜率不存在时，此时此时容易解出的坐标，此时.

综上可知.