题目内容
【题目】已知.
(1)求的单调区间;
(2)当时,求证:对于
,
恒成立;
(3)若存在,使得当
时,恒有
成立,试求
的取值范围.
【答案】(1)单调增区间为,单调减区间为
;(2)详见解析;(3)
.
【解析】
试题(1)对函数求导后,利用导数和单调性的关系,可求得函数
的单调区间.(2)构造函数
,利用导数求得函数
在
上递减,且
,则
,故原不等式成立.(3)同(2)构造函数
,对
分成
三类,讨论函数
的单调性、极值和最值,由此求得
的取值范围.
试题解析:
(1)
,
当时,
.
解得.
当时,解得
.
所以单调增区间为
,
单调减区间为.
(2)设
,
当时,由题意,当
时,
恒成立.
,
∴当时,
恒成立,
单调递减.
又,
∴当时,
恒成立,即
.
∴对于,
恒成立.
(3)因为
.
由(2)知,当时,
恒成立,
即对于,
,
不存在满足条件的;
当时,对于
,
,
此时.
∴,
即恒成立,不存在满足条件的
;
当时,令
,
可知与
符号相同,
当时,
,
,
单调递减.
∴当时,
,
即恒成立.
综上,的取值范围为
.
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