Question

【题目】已知函数，（为自然对数的底数，）.

（1）判断曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；

（2）当时，若函数有两个零点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】分析：（1）根据导数的几何意义可得切线方程，然后根据切线方程与联立得到的方程组的解的个数可得结论．（2）由题意求得的解析式，然后通过分离参数，并结合函数的图象可得所求的范围．

详解：（1）∵，

∴，

∴.

又，

∴曲线在点处的切线方程为．

由得.

故，

所以当，即或时，切线与曲线有两个公共点；

当，即或时，切线与曲线有一个公共点；

当，即时，切线与曲线没有公共点.

（2）由题意得，

由，得，

设，

则.

又，

所以当时，单调递减；

当时，单调递增．

所以.

又，，

结合函数图象可得，当时，方程有两个不同的实数根，

故当时，函数有两个零点．