Question

16．等比数列{a_n}的前n 项和为S_n，已知S₁，S₃，S₂成等差数列
（1）求{a_n}的公比q；
（2）若a₁-a₃=3，b_n=na_n．求数列{b_n}的前n 项和T_n．

Answer 1

分析 （I）分类讨论利用等差等比是列的定义公式得出当q=1时，S₁=a₁，S₃=3a₁，S₂=2a₁，不是等差数列，当q≠1时，化简得出：2q²-q-1=0，求解即可．
（II）运用得出数列，等比数列的性质得出b_n=na_n．a_n=$4×（-\frac{1}{2}）$^n-1，再利用错位相减求和即可．

解答 解：（Ⅰ）∵等比数列{a_n}的前n 项和为S_n，
∴当q=1时，S₁=a₁，S₃=3a₁，S₂=2a₁，不是等差数列，
当q≠1时，S_n=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{n}）}{1-q}$，
∵S₁，S₃，S₂成等差数列
∴2S₃=S₁+S₂，
化简得出：2q²-q-1=0，
解得：$q=-\frac{1}{2}$，q=1（舍去）
（Ⅱ）∵a₁-a₃=3，
∴a₁-$\frac{1}{4}$a₁=3，a₁=4
∵b_n=na_n．a_n=$4×（-\frac{1}{2}）$^n-1
∴b_n=na_n=4n×（$-\frac{1}{2}$）^n-1
∴T_n=4[1+2×（-$\frac{1}{2}$）+3×（-$\frac{1}{2}$）²+…+（n-1）（-$\frac{1}{2}$）^n-2+n（-$\frac{1}{2}$）^n-1]
-$\frac{1}{2}$T_n=4[1×（-$\frac{1}{2}$）+2×（-$\frac{1}{2}$）²+3×（-$\frac{1}{2}$）³+…+（n-1）（-$\frac{1}{2}$）^n-1+n（-$\frac{1}{2}$）ⁿ]
错位相减得出$\frac{3}{2}$T_n=4[1+（-$\frac{1}{2}$）+（-$\frac{1}{2}$）²+（-$\frac{1}{2}$）³+$…+（-\frac{1}{2}）$^n-1$-n（-\frac{1}{2}）$]ⁿ
$\frac{3}{2}$T_n=4[$\frac{1-（-\frac{1}{2}）^{n}}{\frac{3}{2}}$-n×（$-\frac{1}{2}$）ⁿ]，
T_n=$\frac{2}{3}$×$4×\frac{2}{3}$（1-（-$\frac{1}{2}$）ⁿ）$-\frac{8}{3}$n（-$\frac{1}{2}$）ⁿ
T_n=$\frac{16}{9}$$-\frac{16}{9}$（-$\frac{1}{2}$）ⁿ$-\frac{8}{3}$n（-$\frac{1}{2}$）ⁿ

点评 本题考查了等比等差数列的性质，错位相减法求解数列的和，考查了学生的计算化简能力，属于中档题．