Question

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
定义：对函数，对给定的正整数，若在其定义域内存在实数，使得，则称函数为“性质函数”。
（1）判断函数是否为“性质函数”？说明理由；
（2）若函数为“2性质函数”，求实数的取值范围；
（3）已知函数与的图像有公共点，求证：为“1性质函数”。

Answer 1

（1）不能为“k性质函数”
（2）
（3）见解析

（1）根据“性质函数”的概念，列出方程，利用判别式法判断即可；（2）根据“2性质函数”的概念，列出方程，利用判别式列出关于a的不等式，再利用不等式知识求解即可；（3）由已知条件构造方程，最后化为满足“1性质函数”的方程即可证明函数成立
解：
（1）若存在满足条件，则即，………………….   2分
，方程无实数根，与假设矛盾。不能为
“k性质函数”。                    …………………………….   4分
（2）由条件得：，………………….  5分
即（，化简得
，…………………………….    7分
当时，；…………………………….    8分
当时，由，
即，
。
综上，。……………………………. 10分
（3）由条件存在使，即。…………………….11分
,,

……………………………. 12分
,…………………………….    14分
令，
则，……………………….   15分
,为“1性质函数”。……….   16分