题目内容
已知函数
(I)求函数的单调区间; (II)若关于的不等式对一切都成立,求实数的取值范围.
(I)求函数的单调区间; (II)若关于的不等式对一切都成立,求实数的取值范围.
(I)的单调增区间为和;单调减区间为和.
(II)当时,;当时,.
(II)当时,;当时,.
求函数的单调区间时,一定注意函数的定义域,尤其对于对数函数;
对于恒成立求参数问题,通常分离参数,然后只要求在最值处成立即可,关于的不等式对一切都成立,然后分析函数的最值时利用导数求出单调区间。
解:(I),当时,;当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.又函数为奇函数,所以在上单调递增,在上单调递减.
∴的单调增区间为和;单调减区间为和.
(II)不等式对一切都成立,即对一切都成立
由(I)知在上单调递增,在上单调递减,所以,
当,即时,在 上单调递增,;
当,即时,在 上单调递减,;
当,即时,在 上单调递增,在 上单调递减,
.下面比较的大小:
,∴当时,,当时,
综上得:当时,;当时,.
故当时,;当时,.
对于恒成立求参数问题,通常分离参数,然后只要求在最值处成立即可,关于的不等式对一切都成立,然后分析函数的最值时利用导数求出单调区间。
解:(I),当时,;当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减.又函数为奇函数,所以在上单调递增,在上单调递减.
∴的单调增区间为和;单调减区间为和.
(II)不等式对一切都成立,即对一切都成立
由(I)知在上单调递增,在上单调递减,所以,
当,即时,在 上单调递增,;
当,即时,在 上单调递减,;
当,即时,在 上单调递增,在 上单调递减,
.下面比较的大小:
,∴当时,,当时,
综上得:当时,;当时,.
故当时,;当时,.
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