Question

（2013•汕头一模）已知椭圆C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F₁、F₂，右顶点为A，离心率e=

1

2

（1）设抛物线C₂：y²=4x的准线与x轴交于F₁，求椭圆的方程；
（2）设已知双曲线C₃以椭圆C₁的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C₃在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF₁=λ∠BF₁A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由抛物线准线方程可得椭圆左焦点，从而得c值，再由离心率得a，由b=

a2-c2

得b；
（2）可先通过垂直情况求出λ=2，然后作出一般证明．证明如下：设椭圆的半焦距为c，由离心率及双曲线与椭圆的关系可得双曲线C₃的方程为

x2

c2

-

y2

3c2

=1，A（2c，0），设B（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），①当AB⊥x轴时，易求∠BAF1=

π

2

，利用斜率公式可得tan∠BF₁A，从而求得∠BF1A=

π

4

，得证；②当AB不与x轴垂直时，即x₀≠2c时，利用斜率公式表示出tan∠BF₁A及tan∠BAF₁，根据倍角公式可求证tan2∠BF₁A=tan∠BAF₁，再由∠BAF₁与2∠BF₁A的范围即可证得∠BAF₁=2∠BF₁A，综合①②可得结论；

解答：解：（1）因为抛物线C₂的准线方程为x=-1，
所以椭圆C₁的左焦点F₁的坐标为F₁（-1，0），所以椭圆的半焦距c=1，
又椭圆的离心率e=

1

2

，
所以a=2，b=

a2-c2

=

3

，
所以椭圆C₁的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）存在常数λ=2，使∠BAF₁=2∠BF₁A恒成立，
证明如下：设椭圆的半焦距为c，
因为e=

c

a

=

1

2

，所以a=2c，b=

3

c，
所以双曲线C₃的方程为

x2

c2

-

y2

3c2

=1，A（2c，0），
设B（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），则

x02

c2

-

y02

3c2

=1，
①当AB⊥x轴时，x₀=2c，y₀=3c，则tan∠BF₁A=

y0

x0+c

=

3c

3c

=1，
又∠BF₁A∈(0，

π

2

)，所以∠BF1A=

π

4

，
所以∠BAF1=

π

2

=2∠BF₁A；
②当AB不与x轴垂直时，即x₀≠2c时，
因为tan∠BAF₁=

y0

2c-x0

=

-y0

x0-2c

，tan∠BF₁A=

y0

x0+c

，
所以tan2∠BF₁A=

2tan∠BF1A

1-tan2∠BF1A

=

2y0 x0+c

1-( y0 x0+c )2

，
又因为y02=3c2(

x02

c2

-1)=3(x02-c2)，
所以tan2∠BF₁A=

2y0(x0+c)

(x0+c)2-3(x02-c2)

=

-y0

x0-2c

=tan∠BAF₁，
又∠BAF₁与2∠BF₁A同在（0，

π

2

）或（

π

2

，π）内，
所以∠BAF₁=2∠BF₁A．
综上可知存在λ=2，使得∠BAF₁=2∠BF₁A恒成立．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的方程，考查直线的斜率公式，考查分类讨论思想，考查学生对问题的分析解决能力，先用特殊情况探求λ值，再作出一般证明是解决（2）问的关键．