已知函数f1(x)=e|x-a|.f2(x)=ebx．=f1(x)+f2(x)-bf2(-x).是否存在a.b∈R.y=f(x)为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论.如果不存在.请说明理由,[II)若a=2.b=1．求函数g(x)=f1(x)+f2(x)在R上的单调区间,对于给定的实数?x0∈[0.1].对?x∈[0.1].有|f1(x)-f2(x0)|＜1成� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（2013•汕头一模）已知函数f1(x)=e|x-a|，f2(x)=ebx．
（I）若f（x）=f₁（x）+f₂（x）-bf₂（-x），是否存在a，b∈R，y=f（x）为偶函数．如果存在．请举例并证明你的结论，如果不存在，请说明理由；
〔II）若a=2，b=1．求函数g（x）=f₁（x）+f₂（x）在R上的单调区间；
（III ）对于给定的实数?x₀∈[0，1]，对?x∈[0，1]，有|f₁（x）-f₂（x₀）|＜1成立．求a的取值范围．

分析：（Ⅰ）存在a=0，b=-1使y=f（x）为偶函数．再根据偶函数的定义进行证明即可；
（Ⅱ）先利用绝对值的意义将g（x）写成分段函数的形式g（x）=

ex-2+ex

&(x≥2)

e2-x+ex

&(x＜2)

，再对x进行分类讨论：①当x≥2时；②当x＜2时；利用导数工具研究其单调性即得；
（Ⅲ）由于|f₁（x）-f₂（x₀）|＜1，从而f₂（x₀）-1＜f₁（x）＜f₂（x₀）+1，?x₀∈[0，1]对?x∈[0，1]，f₂（x₀）-1＜f₁（x）＜f₂（x₀）+1成立．等价于：

f2(x)min-1＜f1(x)min

f2(x)max+1＞f1(x)max

．再对字母b分类讨论：①当b≥0时，②当b＜0时．即可求得a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）存在a=0，b=-1使y=f（x）为偶函数，…（2分）
证明如下：此时：f（x）=e^|x|+e^-x+e^x，x∈R
∴f（-x）=e^|-x|+e^x+e^-x=f（x），
∴y=f（x）为偶函数．…（4分）
（注：a=0，b=0）也可以）
（Ⅱ）∵g（x）=e^|x-2|+e^x=

ex-2+ex

&(x≥2)

e2-x+ex

&(x＜2)

，…（5分）
①当x≥2时g（x）=e^x-2+e^x，∴g′（x）=e^x-2+e^x＞0，
∴y=g（x）在[2，+∞）上为增函数．…（6分）
②当x＜2时g（x）=e^2-x+e^x，
则g′（x）=-e^2-x+e^x，令g′（x）=0得到x=1，
（ⅰ）当x＜1时g′（x）＜0，
∴y=g（x）在（-∞，1）上为减函数．
（ⅱ）当1≤x＜2时g′（x）＞0，
∴y=g（x）在（1，2）上为增函数．…（8分）
综上所述：y=g（x）的增区间为[1，+∞），减区间为（-∞，1）．…（9分）
（Ⅲ）∵|f₁（x）-f₂（x₀）|＜1，
∴f₂（x₀）-1＜f₁（x）＜f₂（x₀）+1
∴?x₀∈[0，1]对?x∈[0，1]，f₂（x₀）-1＜f₁（x）＜f₂（x₀）+1成立．
即：

f2(x)min-1＜f1(x)min

f2(x)max+1＞f1(x)max

…（10分）
①当b≥0时，f₂（x）为增函数或常数函数，
∴当x∈[0，1]时，f2(x)min=f2(0)=1，f2(x)max=f2(1)=eb
∵f1(x)=e|x-a|＞0，
∴f₂（x）_min-1=f₂（0）-1=0＜f₁（x）_min恒成立．
当a≤

时，f1(x)max=f1(1)=e1-a，
∴e^b+1＞e^1-a
∴a＞1-ln（e^b+1）
∵ln(eb+1)≥ln2＞ln

∴1-ln(eb+1)＜

∴a∈(1-ln(eb+1)，

]当a＞

时f1(x)max=f1(0)=ea
∴e^b+1＞e^a
∴a＜ln（e^b+1）
∵ln(eb+1)≥ln2＞ln

∴a∈(

，ln(eb+1))
综上所述：a∈（1-ln（e^b+1），ln（e^b+1））…（12分）
②当b＜0时，f₂（x）在[0，1]上为减函数，
∴f2(x)max=f2(0)=1，f2(x)min=f2(1)=eb
∵f1(x)=e|x-a|＞0，eb-1＜e0-1=0
∴f₂（x）_min-1＜f₁（x）_min恒成立．当a≤