题目内容
(2013•汕头一模)广东省汕头市日前提出,要提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大的提速,努力实现“幸福汕头”的共建共享.现随机抽取50位市民,对他们的幸福指数进行统计分析,得到如下分布表:
(I)求这50位市民幸福指数的数学期望(即平均值);
(11)以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数,若从全市市民(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数.求ξ的分布列;
(III)从这50位市民中,先随机选一个人.记他的幸福指数为m,然后再随机选另一个人,记他的幸福指数为n,求n<m+60的概率P.
幸福级别 | 非常幸福 | 幸福 | 不知道 | 不幸福 |
幸福指数(分) | 90 | 60 | 30 | 0 |
人数(个) | 19 | 21 | 7 | 3 |
(11)以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数,若从全市市民(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数.求ξ的分布列;
(III)从这50位市民中,先随机选一个人.记他的幸福指数为m,然后再随机选另一个人,记他的幸福指数为n,求n<m+60的概率P.
分析:(I)由数学期望(即平均值)的定义,结合图表可得答案;
(II)可得ξ的可能取值为0、1、2、3,分别求其概率,即可得其分布列;
(III)方法一,求对立事件n≥m+60的概率,进而由P=1-P1可得答案,方法二,直接列举出符合n<m+60的情况,由古典概型的公式可得答案.
(II)可得ξ的可能取值为0、1、2、3,分别求其概率,即可得其分布列;
(III)方法一,求对立事件n≥m+60的概率,进而由P=1-P1可得答案,方法二,直接列举出符合n<m+60的情况,由古典概型的公式可得答案.
解答:解:(Ⅰ)记Ex表示这50位市民幸福指数的数学期望,
∴Ex=
(90×19+60×21+30×7+0×3)=63.…(1分)
(Ⅱ)ξ的可能取值为0、1、2、3 …(2分)
P(ξ=0)=
(
)0(
)3=
…(3分)
P(ξ=1)=
(
)1(
)2=
…(4分)
P(ξ=2)=
(
)2(
)1=
…(5分)
P(ξ=3)=
(
)3(
)0=
…(6分)
∴ξ分布列为
…(7分)
(Ⅲ)方法一:设所有满足条件的对立事件n≥m+60的概率为P1
①满足m=0且n=60的事件数为:
=63…(8分)
②满足m=0且n=90的事件数为:
=57…(9分)
③满足m=30且n=90的事件数为:
=133…(10分)
∴P1=
=
…(11分)
所以满足条件n<m+60的事件的概率为P=1-P1=1-
=
.…(12分)
方法二:基本事件的总数为
=2450
满足条件n<m+60的有如下各种情况:
①满足m=0时,n=0,30的事件数为:
…(8分)
②满足m=30时,n=0,30,60的事件数为:
…(9分)
③满足m=60时,n=0,30,60,90的事件数为:
…(10分)
④满足m=90时,n=0,30,60,90的事件数为:
…(11分)
所以P=
=
=
…(12分)
∴Ex=
1 |
50 |
(Ⅱ)ξ的可能取值为0、1、2、3 …(2分)
P(ξ=0)=
C | 0 3 |
4 |
5 |
1 |
5 |
1 |
125 |
P(ξ=1)=
C | 1 3 |
4 |
5 |
1 |
5 |
12 |
125 |
P(ξ=2)=
C | 2 3 |
4 |
5 |
1 |
5 |
48 |
125 |
P(ξ=3)=
C | 3 3 |
4 |
5 |
1 |
5 |
64 |
125 |
∴ξ分布列为
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 | ||||||||
P |
|
|
|
|
(Ⅲ)方法一:设所有满足条件的对立事件n≥m+60的概率为P1
①满足m=0且n=60的事件数为:
A | 1 3 |
A | 1 21 |
②满足m=0且n=90的事件数为:
A | 1 3 |
A | 1 19 |
③满足m=30且n=90的事件数为:
A | 1 7 |
A | 1 19 |
∴P1=
63+57+133 | ||
|
253 |
2450 |
所以满足条件n<m+60的事件的概率为P=1-P1=1-
253 |
2450 |
2197 |
2450 |
方法二:基本事件的总数为
A | 2 50 |
满足条件n<m+60的有如下各种情况:
①满足m=0时,n=0,30的事件数为:
A | 1 3 |
A | 1 9 |
②满足m=30时,n=0,30,60的事件数为:
A | 1 7 |
A | 1 30 |
③满足m=60时,n=0,30,60,90的事件数为:
A | 1 21 |
A | 1 49 |
④满足m=90时,n=0,30,60,90的事件数为:
A | 1 19 |
A | 1 49 |
所以P=
| ||||||||||||||||
|
3×9+7×30+21×49+19×49 |
50×49 |
2197 |
2450 |
点评:本题考查离散型随机变量及其分布列,涉及数学期望的求解,属中档题.
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