题目内容

(2013•汕头一模)广东省汕头市日前提出,要提升市民素质和城市文明程度,促进经济发展有大的提速,努力实现“幸福汕头”的共建共享.现随机抽取50位市民,对他们的幸福指数进行统计分析,得到如下分布表:
幸福级别 非常幸福 幸福 不知道 不幸福
幸福指数(分) 90 60 30 0
人数(个) 19 21 7 3
(I)求这50位市民幸福指数的数学期望(即平均值);
(11)以这50人为样本的幸福指数来估计全市市民的总体幸福指数,若从全市市民(人数很多)任选3人,记ξ表示抽到幸福级别为“非常幸福或幸福”市民人数.求ξ的分布列;
(III)从这50位市民中,先随机选一个人.记他的幸福指数为m,然后再随机选另一个人,记他的幸福指数为n,求n<m+60的概率P.
分析:(I)由数学期望(即平均值)的定义,结合图表可得答案;
(II)可得ξ的可能取值为0、1、2、3,分别求其概率,即可得其分布列;
(III)方法一,求对立事件n≥m+60的概率,进而由P=1-P1可得答案,方法二,直接列举出符合n<m+60的情况,由古典概型的公式可得答案.
解答:解:(Ⅰ)记Ex表示这50位市民幸福指数的数学期望,
Ex=
1
50
(90×19+60×21+30×7+0×3)=63
.…(1分)
(Ⅱ)ξ的可能取值为0、1、2、3    …(2分)
P(ξ=0)=
C
0
3
(
4
5
)0(
1
5
)3=
1
125
…(3分)
P(ξ=1)=
C
1
3
(
4
5
)1(
1
5
)2=
12
125
…(4分)
P(ξ=2)=
C
2
3
(
4
5
)2(
1
5
)1=
48
125
…(5分)
P(ξ=3)=
C
3
3
(
4
5
)3(
1
5
)0=
64
125
…(6分)
∴ξ分布列为
ξ 0 1 2 3
P
1
125
12
125
48
125
64
125
…(7分)
(Ⅲ)方法一:设所有满足条件的对立事件n≥m+60的概率为P1
①满足m=0且n=60的事件数为:
A
1
3
A
1
21
=63
…(8分)
②满足m=0且n=90的事件数为:
A
1
3
A
1
19
=57
…(9分)
③满足m=30且n=90的事件数为:
A
1
7
A
1
19
=133
…(10分)
P1=
63+57+133
A
2
50
=
253
2450
…(11分)
所以满足条件n<m+60的事件的概率为P=1-P1=1-
253
2450
=
2197
2450
.…(12分)
方法二:基本事件的总数为
A
2
50
=2450

满足条件n<m+60的有如下各种情况:
①满足m=0时,n=0,30的事件数为:
A
1
3
A
1
9
…(8分)
②满足m=30时,n=0,30,60的事件数为:
A
1
7
A
1
30
…(9分)
③满足m=60时,n=0,30,60,90的事件数为:
A
1
21
A
1
49
…(10分)
④满足m=90时,n=0,30,60,90的事件数为:
A
1
19
A
1
49
…(11分)
所以P=
A
1
3
A
1
9
+
A
1
7
A
1
30
+
A
1
21
A
1
49
+
A
1
19
A
 
49
A
2
50
=
3×9+7×30+21×49+19×49
50×49
=
2197
2450
…(12分)
点评:本题考查离散型随机变量及其分布列,涉及数学期望的求解,属中档题.
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