题目内容

3.已知数列{an}中,a2=1,前n项和为Sn,且Sn=$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}$n.
(1)求a1
(2)求数列{an}的通项公式;
(3)设bn=$\frac{{{a_{n+1}}}}{3^n}$,求数列{bn}的前n项和Tn

分析 (1)令n=1则a1=S1,计算即可得到;
(2)当n>1时,an=Sn-Sn-1,化简计算即可得到所求通项公式;
(3)化简数列{bn}的通项,运用错位相减法,结合等比数列的求和公式,计算即可得到.

解答 解:(1)a1=S1=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2}$=0;
(2)当n>1时,Sn=$\frac{1}{2}{n^2}-\frac{1}{2}$n,
Sn-1=$\frac{1}{2}$(n-1)2-$\frac{1}{2}$(n-1),
两式相减可得,
an=Sn-Sn-1=$\frac{1}{2}$(2n-1)-$\frac{1}{2}$
=n-1,
对n=1也成立,
则数列{an}的通项公式为an=n-1;
(3)bn=$\frac{{{a_{n+1}}}}{3^n}$=n•($\frac{1}{3}$)n
前n项和Tn=1•$\frac{1}{3}$+2•$\frac{1}{9}$+…+n•($\frac{1}{3}$)n
$\frac{1}{3}$Tn=1•$\frac{1}{9}$+2•$\frac{1}{27}$+…+n•($\frac{1}{3}$)n+1
两式相减可得,$\frac{2}{3}$Tn=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{9}$+…+($\frac{1}{3}$)n-n•($\frac{1}{3}$)n+1
=$\frac{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{{3}^{n}})}{1-\frac{1}{3}}$-n•($\frac{1}{3}$)n+1
化简可得Tn=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+3}{4•{3}^{n}}$.

点评 本题考查数列的通项和求和的关系,主要考查数列的求和方法:错位相减法,等比数列的求和公式的运用,属于中档题和易错题.

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