题目内容
7．在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+2b=4，asinA+4bsinB=6asinBsinC，则△ABC的面积最小值时有c2=5-$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．分析 运用正弦定理和面积公式可得，a2+4b2=12S，运用基本不等式，可得a=2，b=1，S取得最小值$\frac{2}{3}$，求得ainC，再由同角的平方关系，求得cosC，再由余弦定理，即可得到所求值．
解答 解：由正弦定理，asinA+4bsinB=6asinBsinC即为
a2+4b2=6absinC，又S=$\frac{1}{2}$absinC，
即有a2+4b2=12S，
由于a+2b=4，即有a2+4b2=（a+2b）2-4ab=16-4ab，
即有4ab=16-12S，
由4ab≤2（$\frac{a+2b}{2}$）2=8，
即有16-12S≤8，解得S≥$\frac{2}{3}$．
当且仅当a=2b=2，取得等号．
当a=2，b=1，S取得最小值$\frac{2}{3}$，
sinC=$\frac{2}{3}$，（C为锐角），则cosC=$\sqrt{1-\frac{4}{9}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
则c2=a2+b2-2abcosC=4+1-2×2×1×$\frac{\sqrt{5}}{3}$
=5-$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：5-$\frac{4\sqrt{5}}{3}$．
点评 本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题．
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| A． | 80种 | B． | 120种 | C． | 140种 | D． | 50种 |
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16．下列命题正确的是（ ）
（1）已知命题p：?x∈R，2x=1．则?p是：?x∈R，2x≠1
（2）设l，m表示不同的直线，α表示平面，若m∥l，且m∥α，则l∥α；
（3）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1＞0”发生的概率为$\frac{2}{3}$
（4）“a＞0，b＞0”是“$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$”的充分不必要条件．
（1）已知命题p：?x∈R，2x=1．则?p是：?x∈R，2x≠1
（2）设l，m表示不同的直线，α表示平面，若m∥l，且m∥α，则l∥α；
（3）利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a-1＞0”发生的概率为$\frac{2}{3}$
（4）“a＞0，b＞0”是“$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}≥2$”的充分不必要条件．
| A． | （1）（4） | B． | （2）（3） | C． | （1）（3） | D． | （3）（4） |
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| B． | 若f（x）∈M${\;}_{{a}_{1}}$，g（x）∈M${\;}_{{a}_{2}}$，且g（x）≠0，则$\frac{f（x）}{g（x）}$∈M${\;}_{\frac{{a}_{1}}{{a}_{2}}}$ | |
| C． | 若f（x）∈M${\;}_{{a}_{1}}$，g（x）∈M${\;}_{{a}_{2}}$，则f（x）+g（x）∈M${\;}_{{a}_{1}+{a}_{2}}$ | |
| D． | 若f（x）∈M${\;}_{{a}_{1}}$，g（x）∈M${\;}_{{a}_{2}}$，且a1＞a2，则f（x）-g（x）∈M${\;}_{{a}_{1}-{a}_{2}}$ |