Question

7．已知在△ABC中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1，AD为∠BAC的平分线，则$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$=（　　）

• A． $\frac{7}{3}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． $\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 由角平分线的性质便有$\frac{BD}{DC}=2$，从而$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$，这样便可得到$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，根据条件进行数量积的运算即可求得$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}$．

解答 解：如图，
根据条件及角平分线的性质：$\frac{BD}{DC}=2$
∴$\overrightarrow{BD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）$；
$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AC}=（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}）•\overrightarrow{AC}$=$[\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}（\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}）]$$•\overrightarrow{AC}$=$（\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）•\overrightarrow{AC}$
=$\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{2}{3}{\overrightarrow{AC}}^{2}$=$-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$．
故选：B．

点评 考查角平分线的性质：如题中图，$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$，向量加法、减法，及数乘的几何意义，数量积的运算．