Question

11．已知函数f（x）=ax²-2x+a+b定义域为[0，3]，值域[1，5]，求ab．

Answer 1

分析 当a=0时，函数为一次函数，结合一次函数的图象和性质可分析是否存在满足条件的a，b的值，当a≠0时，函数f（x）为二次函数，分类讨论满足条件的a，b的值，最后可得答案．

解答 解：当a=0时，f（x）=-2x+b为减函数，
若函数f（x）的定义域为[0，3]，值域[1，5]，
则f（0）=b=5，f（3）=-6+b=1，
此时不存在满足条件的b值，
当a≠0时，函数f（x）=ax²-2x+a+b是以x=$\frac{1}{a}$为对称轴的抛物线，
若a＜0，则函数f（x）在[0，3]上为减函数，
则f（0）=a+b=5，f（3）=10a+b=7，解得a=$\frac{2}{9}$（舍去），
若0＜a≤$\frac{1}{3}$，则函数f（x）在[0，3]上为增函数，
则f（0）=a+b=1，f（3）=10a+b=11，解得a=$\frac{10}{9}$（舍去），
若$\frac{1}{3}$＜a≤$\frac{2}{3}$，则函数f（x）在[0，$\frac{1}{a}$]上为减函数，在[$\frac{1}{a}$，3]上为增函数，且f（0）≥f（3），
则则f（0）=a+b=5，f（$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{a}$+a+b=1，解得a=$\frac{1}{4}$（舍去），
若a＞$\frac{2}{3}$，则函数f（x）在[0，$\frac{1}{a}$]上为减函数，在[$\frac{1}{a}$，3]上为增函数，且f（0）＜f（3），
则则f（3）=10a+b=11，f（$\frac{1}{a}$）=-$\frac{1}{a}$+a+b=1，解得a=$\frac{1}{9}$（舍去），或a=1，b=1，ab=1．
综上ab=1

点评 本题考查的知识点是一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，是函数的图象和性质的综合应用，难度中档．