Question

10．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{b+c}{2c}$，则△ABC的形状一定是（　　）

• A． 正三角形
• B． 直角三角形
• C． 等腰三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 在△ABC中，利用二倍角的余弦与正弦定理可将已知cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{b+c}{2c}$，转化为cosA=$\frac{sinB}{sinC}$，整理即可判断△ABC的形状．

解答 解：在△ABC中，∵cos²$\frac{A}{2}$=$\frac{b+c}{2c}$，
∴$\frac{1+cosA}{2}$=$\frac{sinB+sinC}{2sinC}$=$\frac{1}{2}$$•\frac{sinB}{sinC}$+$\frac{1}{2}$
∴1+cosA=$\frac{sinB}{sinC}$+1，即cosA=$\frac{sinB}{sinC}$，
∴cosAsinC=sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
∴sinAcosC=0，sinA≠0，
∴cosC=0，
∴C为直角．
故选：B．

点评 本题考查三角形的形状判断，着重考查二倍角的余弦与正弦定理，诱导公式的综合运用，属于中档题．