题目内容
18.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1是矩形,截面A1BC是等边三角形.(Ⅰ)求证:AB=AC;
(Ⅱ)若AB⊥AC,三棱柱的高为1,求C1点到截面A1BC的距离.
分析 (Ⅰ)取BC中点O,连OA,OA1.证明BC⊥平面A1OA,即可证明:AB=AC;
(Ⅱ)利用等体积法,即可求C1点到截面A1BC的距离.
解答 (Ⅰ)证明:取BC中点O,连OA,OA1.
因为侧面BCC1B1是矩形,所以BC⊥BB1,BC⊥AA1,
因为截面A1BC是等边三角形,所以BC⊥OA1,
所以BC⊥平面A1OA,BC⊥OA,因此,AB=AC.…(5分)
(Ⅱ)解:设点A到截面A1BC的距离为d,
由VA-A1BC=VA1-ABC得S△A1BC×d=S△ABC×1,
得BC×OA1×d=BC×OA×1,得d=$\frac{OA}{OA1}$.
由AB⊥AC,AB=AC得OA=$\frac{1}{2}$BC,
又OA1=$\frac{\sqrt{3}}{2}$BC,故d=$\frac{\sqrt{3}}{3}$.
因为点A与点C1到截面A1BC的距离相等,
所以点C1到截面A1BC的距离为$\frac{\sqrt{3}}{3}$.…(12分)
点评 本题考查线面垂直的判定与性质,考查等体积法的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.
练习册系列答案
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