题目内容
7.已知两条直线l1:y=m和l2:y=$\frac{4}{m+1}$(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象由左到右相交于点A,B,l2 与函数y=|log2x|的图象由左到右相交于点C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,$\frac{b}{a}$的最小值是( )A. | 2 | B. | 4 | C. | 8 | D. | 16 |
分析 通过设各点横坐标分别为xA、xB、xC、xD,依题意可求得xA、xB、xC、xD的值,利用a=|xA-xC|、b=|xB-xD|及基本不等式可求得当m变化时$\frac{b}{a}$的最小值.
解答 解:设A,B,C,D各点的横坐标分别为xA,xB,xC,xD,
则-log2xA=m,log2xB=m;
-log2xC=$\frac{4}{m+1}$,log2xD=$\frac{4}{m+1}$;
∴xA=2-m,xB=2m,xC=${2}^{-\frac{4}{m+1}}$,xD=${2}^{\frac{4}{m+1}}$.
∴a=|xA-xC|,b=|xB-xD|,
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{|{x}_{B}-{x}_{D}|}{|{x}_{A}-{x}_{C}|}$=|$\frac{{2}^{m}-{2}^{\frac{4}{m+1}}}{{2}^{-m}-{2}^{-\frac{4}{m+1}}}$|=2m•${2}^{\frac{4}{m+1}}$=${2}^{m+\frac{4}{m+1}}$.
又m>0,∴m+$\frac{4}{m+1}$=(m+1)+$\frac{4}{m+1}$-1≥2$\sqrt{(m+1)•\frac{4}{m+1}}$-1=3(当且仅当m=1时取“=”),
∴$\frac{b}{a}$≥23=8,
故选:C.
点评 本题考查对数函数图象与性质的综合应用,理解平行投影的概念,得到$\frac{b}{a}$=$\frac{|{x}_{B}-{x}_{D}|}{|{x}_{A}-{x}_{C}|}$是关键,考查转化与数形结合的思想,考查分析与运算能力,注意解题方法的积累,属于难题.
练习册系列答案
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17.根据如下样本数据
得到的回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=bx+a.若a=7.9,则b的值为-1.4.
x | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 4.0 | 2.5 | -0.5 | 0.5 | -2.0 |
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A. | 第四象限 | B. | 第三象限 | C. | 第二象限 | D. | 第一象限 |