题目内容

3.如图,斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面是直角三角形,∠ACB=90°,点B1在底面内的射影恰好是BC的中点,且BC=CA=2.
(1)求证:平面ACC1A1⊥平面B1C1CB;
(2)若二面角B-AB1-C1的余弦值为$-\frac{5}{7}$,求斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1的长度.

分析 (1)利用线面垂直的性质定理证明面面垂直
(2)建立空间直角坐标系,写出对应点的坐标,利用余弦值求得边长.

解答 解:(1)取BC中点M,连接B1M,则B1M⊥面ABC,
∴面BB1C1C⊥面ABC,
∵BC=面BB1C1C∩面ABC,AC⊥BC,
∴AC⊥面BB1C1C,
∵AC?面ACC1A1∴面ACC1A1⊥面BCC1B1
(2)取BC的中点为M,AB的中点M,连接OM,MB1
以MC为x轴,MO为y轴,MB1为z轴,建立空间直角坐标系.AC=BC=2,AB=2$\sqrt{2}$,设B1M=t,则A(1,2,0),B(-1,0,0),C(1,0,0),B1(0,0,t),C1(2,0,t),
则$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=(-1,-2,t),$\overrightarrow{AB}$=(-2,-2,0),$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=(2,0,0),
设平面AB1C1法向量$\overrightarrow{n_2}=(x,y,z)$,
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$,即$\left\{\begin{array}{l}{-x-2y+tz=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$,取$\overrightarrow{{n}_{2}}$=$(0,1,\frac{2}{t})$.
同理可得面AB1B法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=(1,-1,-$\frac{1}{t}$).
∵$cos\left?{\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}}\right>=-\frac{5}{7}$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{-1-\frac{2}{{t}^{2}}}{\sqrt{1+\frac{4}{{t}^{2}}}\sqrt{2+\frac{1}{{t}^{2}}}}$,
t4+29t2-96=0,∴t=$\sqrt{3}$,∴BB1=2.
∴斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱AA1=BB1=2.

点评 本题主要考查了线面关系的证明和空间向量在立体几何中的应用,属于中档题,高考常有涉及.

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