Question

【题目】如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】分析：（1）通过证明AD⊥DE，，推出平面，得到平面平面；；
（2）由（1）知，是二面角的平面角．以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面与平面所成锐二面角的余弦值．

详解：

（1）证明：∵，由勾股定理得：

又正方形中，且

∴平面，又∵面，

∴平面平面

（2）由（1）知是二面角的平面角

作于，则

且由平面平面，平面平面，面

所以，面

取中点，连结，则，如图，建立空间直角坐标系，

则

∴

又，知的一个方向向量

设面法向量，则

取，得

又面一个法向量为：∴

设平面与平面所成锐二面角为，则