题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆
上,焦点为
,圆O的直径为
.
(1)求椭圆C及圆O的标准方程;
(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P,且直线l与椭圆C交于两点.记
的面积为
,证明:
.
【答案】(1),
;(2)见解析
【解析】
(1)利用椭圆的性质列出方程组,即可得到椭圆C及圆O的标准方程;
(2)利用斜截式设出直线的方程,根据点到直线的距离公式得到点
到直线
的距离,将直线
的方程代入椭圆,结合韦达定理,得出
的长度,利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明
.
(1)由题意,椭圆C的方程为.
可得,解得
所以椭圆C的方程为.
因为焦点在轴上,
所以椭圆C的焦点为.
所以直径为的圆O的方程为
.
(2)由题意知,直线l与圆O相切于第一象限内的点P,
设直线的斜截式方程为
.
因为直线与圆
相切,
所以点到直线
的距离为
.
即.
因为直线与椭圆C相交于
两点,
由,整理得
,
设,则
.
因为.
又,
所以.
所以.
又因为,
所以.
因为,
所以
.
设,则
,则
.
令.
则.
设
因为在
上单调递减,
所以.
所以.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数,求
及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
经计算得,
,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,
.
用样本平均数作为μ的估计值
,用样本标准差s作为σ的估计值
,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除
之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布,则
,
,
.