题目内容
【题目】已知数列、
的前
项和分别为
和
,数列
满足
,
,
,等差数列
满足
,
.
(1)求数列和
的通项公式;
(2)若数列满足
,求证:
,其中
.
【答案】(1),
;(2)证明见解析.
【解析】
(1)根据与
的关系和等比数列的定义,可证出
为首项
,公比
的等比数列,再根据等比数列的通项公式求出数列
的通项公式;根据等差数列的通项公式和性质,求出
和
,即可求出
的通项公式;
(2)写出,根据等比数列的定义,可知
是以
为首项,
为公比的等比数列,再利用等比数列的前
项和公式求出
,即可证出
.
解:(1)由于,
,则
,
则,即
,
所以数列为首项
,公比
的等比数列,
则;
由于在等差数列中,
,
,
则,即
,得
,
故.
(2)由于,得
,
则,且
,
则数列是以
为首项,
为公比的等比数列,
则,
即时,
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某校共有学生2000人,其中男生900人,女生1100人,为了调查该校学生每周平均体育锻炼时间,采用分层抽样的方法收集该校100名学生每周平均体育锻炼时间(单位:小时).
(1)应抽查男生与女生各多少人?
(2)根据收集100人的样本数据,得到学生每周平均体育锻炼时间的频率分布表:
时间(小时) | [0,1] | (1,2] | (2,3] | (3,4] | (4,5] | (5,6] |
频率 | 0.05 | 0.20 | 0.30 | 0.25 | 0.15 | 0.05 |
若在样本数据中有38名男学生平均每周课外体育锻炼时间超过2小时,请完成每周平均体育锻炼时间与性别的列联表,并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育锻炼时间与性别有关”?
男生 | 女生 | 总计 | |
每周平均体育锻炼时间不超过2小时 | |||
每周平均体育锻炼时间超过2小时 | |||
总计 |
附:K2.
P(K2≥k0) | 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 |
【题目】2018年3月份,上海出台了《关于建立完善本市生活垃圾全程分类体系的实施方案》,4月份又出台了《上海市生活垃圾全程分类体系建设行动计划(2018-2020年)》,提出到2020年底,基本实现单位生活垃圾强制分类全覆盖,居民区普遍推行生活垃圾分类制度.为加强社区居民的垃圾分类意识,推动社区垃圾分类正确投放,某社区在健身广场举办了“垃圾分类,从我做起”生活垃圾分类大型宣传活动,号召社区居民用实际行动为建设绿色家园贡献一份力量,为此需要征集一部分垃圾分类志愿者.
(1)为调查社区居民喜欢担任垃圾分类志愿者是否与性别有关,现随机选取了一部分社区居民进行调查,其中被调查的男性居民和女性居民人数相同,男性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占男性居民的,女性居民中不喜欢担任垃圾分类志愿者占女性居民的
,若研究得到在犯错误概率不超过0.010的前提下,认为居民喜欢担任垃圾分类志愿者与性别有关,则被调查的女性居民至少多少人?
附,
,
0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(2)某垃圾站的日垃圾分拣量(千克)与垃圾分类志愿者人数
(人)满足回归直线方程
,数据统计如下:
志愿者人数 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
日垃圾分拣量 | 25 | 30 | 40 | 45 |
已知,
,
,根据所给数据求
和回归直线方程
,附:
,
.
(3)用(2)中所求的线性回归方程得到与对应的日垃圾分拣量的估计值
.当分拣数据
与估计值
满足
时,则将分拣数据
称为一个“正常数据”.现从5个分拣数据中任取3个,记
表示取得“正常数据”的个数,求
的分布列和数学期望.