Question

【题目】已知O为坐标原点，点，，点B在线段CD上，且，过点作的平行线交于点，设点的轨迹为．

（1）求曲线的方程；

（2）已知直线与圆相切于点，且与曲线相交于，两点，的中点为，求三角形面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）根据已知条件及椭圆的定义即可得到曲线的方程.

（2）根据直线的斜率存在且不为，利用直线与圆相切得到，联立直线与椭圆，利用韦达定理求出的中点坐标及的垂直平分线方程，利用圆心到直线的距离求出，再化简求其最值即可得到三角形面积的最大值.

（1）如图所示：

因为，，

故，所以，

故，

所以点的轨迹为以为焦点，的椭圆，

故，，

所以点的轨迹方程为：.

（2）由题意，直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，

因为直线与圆相切，所以，即：.

由消去得：.

设，由韦达定理知：

，.

所以中点的坐标为，

所以的垂直平分线方程为，

即.

为点到垂直平分线的距离，

所以.

将代入得

（当且仅当，即时，取等号）.

所以三角形的面积为，

综上所述，三角形的面积的最大值为.