Question

【题目】如图，三棱锥中，平面平面，，，点，分别是棱，的中点，点是的重心.

（1）证明：平面；

（2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

（1）根据三角形重心性质可得，根据三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得平面，平面，最后根据面面平行判定定理以及性质得结果；

（2）先根据面面垂直性质定理得平面，确定与平面所成的角，再根据条件建立空间直角坐标系，求出各点坐标，利用向量数量积得各面法向量，最后根据向量夹角公式得法向量夹角，即得二面角所成角.

（1）连接，连接并延长交于点，则点为的中点，

从而点，，分别是棱，，的中点，

∴，.

又，平面，，平面，

∴平面，平面.

又，平面，，

∴平面平面，

又平面，

∴平面.

（2）连接，∵，是的中点，∴，

∵平面平面，平面平面，

平面，平面.

连接并延长交于点，则为的中点，

连接，则，∴平面.

∴为与平面所成的角，即.

在中，设，则，，∴，.

∴，，，

∴，即，

如图建立空间直角坐标系，

则，，.

∴，，

设平面的一个法向量为，

则，可取，

又平面的一个法向量为，

则，

所以二面角的余弦值为.