Question

【题目】设f（x）=|x﹣1|+|x+1|，（x∈R）
（1）求证：f（x）≥2；
（2）若不等式f（x）≥ 对任意非零实数b恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）证明：f（x）=|x﹣1|+|x+1|=|1﹣x|+|x+1|≥|1﹣x+x+1|=2；
（2）解：g（b）= ≤ =3，

∴f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，

x≤﹣1时，﹣2x≥3，∴x≤﹣1.5，∴x≤﹣1.5；

﹣1＜x≤1时，2≥3不成立；

x＞1时，2x≥3，∴x≥1.5，∴x≥1.5．

综上所述x≤﹣1.5或x≥1.5．

【解析】（1）利用三角不等式证明：f（x）≥2；（2）g（b）= ≤ =3，可得f（x）≥3，即|x﹣1|+|x+1|≥3，分类讨论，求x的取值范围．