题目内容
【题目】已知数列的前
项和为
,对于任意
满足
,且
,数列
满足
,
,其前
项和为
.
(1)求数列、
的通项公式;
(2)令,数列
的前
项和为
,求证:对于任意正整数
,都有
;
(3)将数列、
的项按照“当
为奇数时,
放在前面”,“当
为偶数时,
放在前面”的要求进行“交叉排列”得到一个新的数列:
、
、
、
、
、
、
、
、
求这个新数列的前
项和
.
【答案】(1),
;(2)证明见解析;(3)
.
【解析】
(1)由题意可知数列为等差数列,确定该数列的首项和公差,可求出数列
的通项公式,可求出
,再由
可求出数列
的通项公式,由等差中项法可知数列
为等差数列,从而可得出数列
为等比数列,且设该等比数列的公比为
,结合题中条件求出
和
的值,即可求出数列
的通项公式;
(2)利用错位相减法求出数列的前
项和
,即可证明出
;
(3)求出数列的前
项和
,对
进行分类讨论,利用等差数列和等比数列的求和公式可得出
.
(1)且
,所以,数列
是以
为首项,以
为公差的等差数列,
,
.
当时,
.
也适合上式,所以,
.
,即
,
所以,数列为等差数列,设其公差为
,则
,
,所以,数列
是正项等比数列,设其公比为
,则
.
由题意可得,解得
,
因此,;
(2),
,①
则,②
①②得
,
化简得;
(3)数列的前
项和为
,
数列的前
项和为
,
①当时,
;
②当时,
,
特别地,当时,
也适合上式;
③当时,
.
综上所述,.
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