题目内容
【题目】已知.
(1)讨论时,
的单调性、极值;
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数a,使的最小值是3,如果存在,求出a的值;若不存在,
请说明理由.
【答案】(1) 当时
单调递减;当
时,此时
单调递增;
的极小值为
;
(2) 证明过程见详解;
(3)存在实数,使得当
时,
有最小值3.
【解析】
(1) 先对函数求导,得到∵,利用导数的方法研究函数单调性,进而可求出极值;
(2) 先由(1)求出;再令
,用导数方法研究
单调性,求出
的最大值,进而可证明结论成立;
(3) 先假设存在实数a,使有最小值3,用分类讨论的思想,分别讨论
,
两种情况,结合导数的方法,即可得出结果.
(1) ∵
∴ 当时,
单调递减;
当时,
,此时
单调递增;
∴的极小值为
;
(2) 因为的极小值即
在
上的最小值为1,
所以;
令
又∵
∴ 当时,
;
∴上单调递减;
∴
∴ 当时,
;
(3) 假设存在实数a,使有最小值3,
①当时,由于
,则
;
∴ 函数是
上的增函数,
∴,
(舍去)
②当时,则当
时,
,此时
是增函数;
当,
,此时
是增函数;
∴,解得
;
由①、②知,存在实数,使得当
时,
有最小值3.

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中选出2名学生,共3名学生召开座谈会,求
组中学生
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组中学生
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