Question

15．设函数f（x）=${∫}_{0}^{{x}^{2}}$sintdt，则当x→0时，f（x）是x的（　　）阶无穷小．

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 先求f（x）=${∫}_{0}^{{x}^{2}}$sintdt=-cost²${|}_{0}^{x^2}$=1-cosx²，再构造极限：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^4}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-cosx^2}{x^4}$=$\frac{1}{2}$，得出结论．

解答 解：f（x）=${∫}_{0}^{{x}^{2}}$sintdt=-cost${|}_{0}^{x^2}$=1-cosx²，
构造极限：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^4}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-cosx^2}{x^4}$，
该极限是一个“$\frac{0}{0}$”型极限，运用洛必达法则求解，
$\underset{lim}{x→0}$$\frac{1-cosx^2}{x^4}$=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{2x•sinx^2}{4x^3}$=$\frac{1}{2}$•$\underset{lim}{x→0}$$\frac{sinx^2}{x^2}$=$\frac{1}{2}$，
即：$\underset{lim}{x→0}$$\frac{f（x）}{x^4}$=$\frac{1}{2}$，
所以，当x→0时，f（x）是x的4阶无穷小，
故选：C．

点评 本题主要考查了定积分的运算，以及运用极限判断无穷小量的阶数和洛必达法则的应用，属于中档题．