题目内容
设f（x）是定义在（0，1）上的函数，且满足：①对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0；②对任意x1，x2∈（0，1），恒有
+
≤2，则下面关于函数f（x）判断正确的是（ ）
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
分析：由已知不等式将x1、x2互换位置，可得
+
≤2，再将其与已知式相加，得
+
+
+
≤4任意x1，x2∈（0，1）恒成立．再根据基本不等式，证出
+
+
+
≥4恒成立，所以有
+
+
+
=4，结合基本不等式取等号的条件，可得f（x1）=f（x2）对任意x1、
x2∈（0，1）恒成立．由以上结论，对照各个选项，则不难得到本题的答案．
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
x2∈（0，1）恒成立．由以上结论，对照各个选项，则不难得到本题的答案．
解答：解：∵对任意x1，x2∈（0，1），恒有
+
≤2，…（1）
∴将x1、x2的位置互换，可得
+
≤2，…（2）
（1）（2）相加，得
+
+
+
≤4，…（3）
又∵对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0
∴由基本不等式，得
+
≥2且
+
≥2
两式相加，得
+
+
+
≥4…（4）
对照（3）（4），可得
+
+
+
=4任意x1，x2∈（0，1）恒成立
结合基本不等式的等号成立的条件，可得
=
=1，故f（x1）=f（x2）对任意x1，x2∈（0，1）恒成立．
由以上的结论，可得D选项正确，而C选项与D矛盾，故不正确
而A、B中的结论应该改成对任意x∈(0，
)，都有f（x）=f（1-x）
故答案为：D
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
∴将x1、x2的位置互换，可得
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
（1）（2）相加，得
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
又∵对任意x∈（0，1），恒有f（x）＞0
∴由基本不等式，得
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
两式相加，得
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
对照（3）（4），可得
| f(x1) |
| f(x2) |
| f(1-x1) |
| f(1-x2) |
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(1-x2) |
| f(1-x1) |
结合基本不等式的等号成立的条件，可得
| f(x2) |
| f(x1) |
| f(x1) |
| f(x2) |
由以上的结论，可得D选项正确，而C选项与D矛盾，故不正确
而A、B中的结论应该改成对任意x∈(0，
| 1 |
| 2 |
故答案为：D
点评：本题给出抽象函数和已知不等式，判断几个命题的真假性，着重考查了函数的自变量的对称性、不等式的性质和基本不等式等知识，属于基础题．
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