Question

【题目】已知函数f（x）＝ax2+bx+c（a≠0）满足f（0）＝0，对于任意x∈R，都有f（x）≥x，且，令g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|（λ＞0）．

（1）求函数f（x）的表达式；

（2）求函数g（x）的单调区间；

（3）当λ＞2时，判断函数g（x）在区间（0，1）上的零点个数，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）f（x）＝x2+x（2）答案不唯一，具体见解析（3）答案不唯一，具体见解析

【解析】

（1）利用可得：函数f（x）的对称轴为，即可列方程求得a＝b，由“对于任意x∈R，都有f（x）≥x”可得a＞0，且△＝（b﹣1）2≤0，可得：b＝1，a＝1，问题得解。

（2）整理可得：g（x），对分类，结合二次函数的性质即可得解。

（3）对的取值范围分类，利用函数零点存在性判断方法求解。

解：（1）∵f（0）＝0，∴c＝0，

∵对于任意x∈R都有，

∴函数f（x）的对称轴为，即，得a＝b，

又f（x）≥x，即ax2+（b﹣1）x≥0对于任意x∈R都成立，

∴a＞0，且△＝（b﹣1）2≤0，

∵（b﹣1）2≥0，∴b＝1，a＝1，

∴f（x）＝x2+x；

（2）解：g（x）＝f（x）﹣|λx﹣1|，

①当时，函数g（x）＝x2+（1﹣λ）x+1的对称轴为，

若，即0＜λ≤2，函数g（x）在（）上单调递增；

若，即λ＞2，函数g（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减．

②当时，函数g（x）＝x2+（1+λ）x﹣1的对称轴为，

则函数g（x）在（）上单调递增，在（）上单调递减，

综上所述，当0＜λ≤2时，函数g（x）单调递增区间为（），单调递减区间为（）；

当λ＞2时，函数g（x）单调递增区间为（）和（），单调递减区间为（）和（）；

（3）当λ＞2时，则，而g（0）＝﹣1＜0，，g（1）＝2﹣|λ﹣1|，

（ⅰ）若2＜λ≤3，由于，

且，

此时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；

（ⅱ）若λ＞3，由于且g（1）＝2﹣|λ﹣1|＜0，此时，函数g（x）在区间（0，1）

上有两个不同的零点；

综上所述，当2＜λ≤3时，函数g（x）在区间（0，1）上只有一个零点；

当λ＞3时，函数g（x）在区间（0，1）上有两个不同的零点．