题目内容
13.已知直线l:y=ax+1-a(a∈R).若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|,则称此曲线为直线l的“绝对曲线”.下面给出四条曲线:①y=-2|x-1|②y=x2③(x-1)2+(y-1)2④x2+3y2=4
其中,可以被称为直线l的“绝对曲线”的是②③④.(请将符合题意的序号都填上)
分析 若存在实数a使得一条曲线与直线l有两个不同的交点,且以这两个交点为端点的线段长度恰好等于|a|,则称此曲线为直线l的“绝对曲线”,分别进行判定是否垂直a即可.
解答 解:①由直线y=ax+1-a,可知此直线过点A(1,1),y=-2|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}-2x+2,x≥1\\ 2x-2,x<1\end{array}\right.$,
如图所示,
直线l与函数y=-2|x-1|的图象只能由一个交点,故不是“绝对曲线”;
②y=x2与l:y=ax+1-a联立$\left\{\begin{array}{l}y={x}^{2}\\ y=ax+1-a\end{array}\right.$,
解得$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}\right.$ 或$\left\{\begin{array}{l}x=a-1\\ y=(a-1)^{2}\end{array}\right.$,
此两个交点的距离 $\sqrt{(a-2)^{2}+({a}^{2}-2a)^{2}}$=|a|,化为(a-2)2(1+a2)-a2=0,
令f(a)=(a-2)2(1+a2)-a2,则f(1)=2-1=1>0,f(2)=0-4<0,因此函数f(a)在区间(1,2)内存在零点,即方程(a-2)2(1+a2)-a2=0,有解.
故此函数的图象是“绝对曲线”;
③(x-1)2+(y-1)2=1是以(1,1)为圆心,1为半径的圆,此时直线l总会与此圆由两个交点,且两个交点的距离是圆的直径2,∴存在a=±2满足条件,故此函数的图象是“绝对曲线”;
④把直线y=ax+1-a代入x2+3y2=4得(3a2+1)x2+6a(1-a)x+3(1-a)2-4=0,
∴x1+x2=$\frac{-6a(1-a)}{3{a}^{2}+1}$,x1x2=$\frac{3(1-a)^{2}-4}{3{a}^{2}+1}$.
若直线l被椭圆截得的弦长是|a|,则a2=(1+a2)[(x1+x2)2-4x1x2]=(1+a2){ $[\frac{-6a(1-a)}{3{a}^{2}+1}]^{2}$-4×$\frac{3(1-a)^{2}-4}{3{a}^{2}+1}$},
化为 $\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+1}$-${(\frac{6a+2}{3{a}^{2}+1})}^{2}$=0,
令f(a)=,而f(1)=$\frac{1}{2}$-4<0,f(3)=$\frac{9}{10}$-$\frac{25}{49}$>0.
∴函数f(a)在区间(1,3)内有零点,即方程f(a)=0有实数根,而直线l过椭圆上的定点(1,1),当a∈(1,3)时,直线满足条件,即此函数的图象是“绝对曲线”.
综上可知:能满足题意的曲线有②③④.
故答案为:②③④
点评 本题主要考查了直线与圆锥曲线的位置关系的运用,属于难题.
A. | $\frac{11}{3}$ | B. | $\frac{14}{3}$ | C. | 5 | D. | $\frac{16}{3}$ |
A. | f(x)=sinx | B. | f(x)=|x| | C. | f(x)=$\frac{1}{2}$(2x+2-x) | D. | f(x)=ln$\frac{2-x}{2+x}$ |